.nu

Skolarbeten och uppsatser från högstadiet och gymnasiet
Sök skolarbeten

Specialarbete: Den speciella relativitetsteorin

1. InnehållsförteckningSida: Innehåll:
2 1 Innehållsförteckning
2 2 Inledning
3 3 Syfte och frågeställningar
3 4 Begränsning av arbetet
3 5 Metod och forskningsläge
3 6 Avhandling
3 6.1 Historik
5 6.2 Den speciella relativitetsteorin
5 6.3 Tidsdilatation
8 6.4 Dopplereffekt
11 6.5 Addition av hastigheter
14 6.6 Längdkontraktion
15 6.7 Samtidighet
16 6.8 Massans beroende av hastigheten
18 6.9 Rörelsemängd och rörelseenergi
19 6.10 Den fjärde dimensionen
21 7 Sammanfattning
23 8 Slutord
23 9 Källförteckning

2. Inledning

Jag har valt att skriva om Albert Einsteins speciella relativitetsteori och tänker inrikta mig på att förklara vilka följder den får, de otroliga fenomen som uppstår när man närmar sig ljushastigheten, och hur den fullkomligt raserade Isaac Newtons högt ansedda lagar. Newtons mest väsentliga definitioner visade sig felaktiga! Hela forskarvärlden vändes upp och ner. Den delades i två läger där alla var mycket oeniga om hur vida den nya banbrytande teorin stämde eller ej. Hela vår logiska världsbild krossades till spillror när vi läste Einsteins teorier. Vi fick lära oss att tiden är relativ och olik för olika betraktare, och att längd och massa varierar beroende på hastigheten. Detta var, och är fortfarande, mycket svårt att förstå, men dock väldigt intressant. Många ansåg Einstein provocerande när han kom med uttalanden som: “Om ett vetenskapligt forskarresultat motsätter sig vårt förnuft, så är det förnuftet som har fel.”. Hur kan något som motsätter sig alla våra grundläggande logiska uppfattningar vara korrekt? Det tycks till en början låta lika osannolikt som att ett äpple skulle falla uppåt om man släpper det!

Einstein kom att bli något av ett helgon, inte bara bland forskare, utan även bland “vanligt” folk. Den största delen av folket förstod inte teorin, men känslan av att någon i alla fall vet hur världen hänger ihop, skapade en slags trygghet. Vi har alltid velat ha någon att tro på, vare sig det är kyrkan eller vetenskapen. Människan har i alla tider utforskat det okända och drömt om vad som kan finnas där. Våra förfäder tittade, precis som vi gör idag, upp mot den stjärnklara himlen och undrade vad som fanns där ute. Den drivande kraften att hela tiden få veta mer, förstå det vi inte förstår och att lära oss det vi inte kan, har tagit människosläktet till en topplacering i näringskedjan och gjort oss till ytterst intelligenta varelser. I sann Einstein-anda är dock allt relativt, så i jämförelse med de andra varelserna på jorden är vi mycket intelligenta, men kanske bleknar vi i jämförelse med andra civilisationer ute i universum?

Målet med detta arbete är att förklara och sammanfatta Einsteins speciella relativitetsteori. Efter att ha studerat det så ska läsaren ha fått veta lite mer, ha förstått lite mer och lärt sig lite mer om en av vår tids mest betydelsefulla och uppseendeväckande forskarteorier.

3. Syfte och frågeställningar

I mitt arbete tänker jag besvara följande frågeställningar:

 Hur förhåller sig massa, rörelseenergi och hastighet egentligen till varandra?
 Vad är längdkontraktion och varför uppkommer det?
 Vad är tidsdilatation och varför uppkommer det?
 Varför kan man inte alltid bara addera hastigheter?
 Varför är samtidighet ett relativt begrepp och vad är det egentligen?

4. Begränsning av arbetet

Jag har valt att begränsa mitt arbete så att det endast kommer att behandla Den speciella relativitetsteorin. Jag tänker inte skriva något om Albert Einsteins uppväxt och utbildning, utan endast en kortfattad historik där läsaren invigs i ämnet. Detta eftersom jag anser att läsarens förutsättningar att få en bra helhetsbild av teorin inte förbättras av information om Einsteins forskar- och privata bakgrund.

5. Metod och forskningsläge

Jag har arbetat metodiskt genom att, med utgångspunkt från mina frågeställningar, ge svar genom analys och framläggande av fakta.

Jag har kunnat konstatera att det inte längre forskas om den speciella relativitetsteorin i någon större omfattning. Hela forskarvärlden är ense om att teorin stämmer. Det finns dock en liten minoritet som inte tror på teorin. Jag får uppfattningen att de inte har de matematiska färdigheter som krävs för att bli övertygad. Eftersom de ickematematiska förklaringarna till teorierna, i synnerhet till den allmänna, är väldigt abstrakta är det förståeligt att alla inte ser dess innebörd och logik.

6. Avhandling

6.1 Historik

Albert Einstein lade 1905 fram den mycket banbrytande speciella relativitetsteorin. Där förklarade han bl.a. att ljusets hastighet var konstant och att en kropps massa berodde på dess hastighet. Många delar av Einsteins teorier stred mot Newtons klassiska lagar om mekanik och fysik. Einstein hade kommit fram till att Newtons lagar gällde vid låga hastigheter, men sattes ur spel då hastigheterna närmade sig ljushastigheten. Enligt Newton, och många andra tidigare forskare för den delen också, var rummet en absolut referensram. Allt som händer, sker i förhållande till rummet. Rummet var både rätlinjigt och rätvinkligt, precis som vi ser det. Den kortaste vägen mellan två punkter var en rak linje, vilket låter helt naturligt och mycket rimligt. Det rum som vi människor uppfattar genom våra sinnen är ju tredimensionellt, det har en höjd, en bredd och ett djup.

I den äldre fysiken, man brukar tala om tiden före och efter Einstein, trodde man också att hela universum fylldes upp av ett fint, lätt och omärkbart ämne, den så kallade etern. Denna teori uppkom då den skotske fysikern James Clerk Maxwell upptäckte att ljuset egentligen var en vågrörelse. Man trodde då att ljuset, precis som alla andra vågrörelser, måste ha något att transporteras i och därför kom han och andra forskare fram till att det måste finnas ett osynligt ämne som fyller upp allt rum i hela universum. Ämnet kom att kallas Maxwells eter, eller bara etern. Eterns “uppgift” var också att bära upp det absoluta rummet, hela världens fysiska referensram. 1887 gjordes dock ett experiment som skulle bevisa “etervindens” existens. Det var forskarna Michelson och Morley som funderade över att jorden rör sig genom att slags “eterhav” då den färdas genom universum. När då den färdas genom detta eterhav borde det vara som att färdas genom luften på jorden, dvs. det borde uppstå en slags etermotvind i motsatt riktning till hastigheten. Eftersom ljudet bromsas upp i motvind tänkte de att även ljuset borde göra det. Både ljudet och ljuset är ju en vågrörelse som transporteras genom ett medium.

De ställde upp en ljuskälla, och riktade ljuset parallellt med den förmodade etervinden, mot en halvt genomskinlig spegel som de vinklat 45 i förhållande till ljusstrålen (se fig.). Hälften av ljuset skulle då reflekteras och resten gå rätt igenom spegeln. Två ljusstrålar, med rät vilken mellan dem, skulle då uppstå. En av dem skulle fortsätta parallellt med etervinden och en skulle gå vinkelrätt mot den. De båda ljusstrålarna skulle få fortsätta exakt lika lång sträcka för att sedan träffa en helt reflekterande spegel som skulle få dem att vända tillbaka mot den halvt reflekterande spegeln. Ljusstrålen skulle än en gång delas, precis som förut. Den ursprungliga ljusstrålen var riktad från vänster mot den halvt reflekterande spegeln i mitten där ljuset delade upp sig och fortsatte åt höger och uppåt. När de två ljusstrålarna åter träffade mittspegeln fortsatte hälften av dem neråt och träffade en avläsningskikare. De båda ljusstrålarna hade nu färdats exakt lika lång sträcka, men en av dem hade korsat etervinden och den andra hade gått parallellt med den.

Genom denna konstruktion var Michelson och Morley säker på att de skulle kunna avläsa en tidsskillnad mellan de båda ljusstrålarna och därmed bevisa etern existens. Resultatet blev dock mycket förvånande. Ingen skillnad uppmättes! Experimentet i sig var så pass noggrant gjort att det skulle ha påvisat en skillnad om det fanns någon. Den enda slutsats som Michelson och Morley kunde dra, var att det inte fanns någon eter över huvud taget. Detta resultat förbryllade forskare världen och det dröjde ända till Einsteins speciella relativitetsteori innan förklaringen kom.

6.2 Den speciella relativitetsteorin

Med sin eminenta teori fastlade Einstein att problemet kan lösas om man accepterar hans följande två postulat:

1. Det är för en observatör principiellt omöjligt att genom några som helst fysikaliska experiment avgöra om han befinner sig i vila eller i ett tillstånd av likformig rätlinjig, dvs. oaccelererad, rörelse.
2. Ljusets hastighet är en universell konstant, densamma för alla observatörer vare sig de finner sig i vila eller rör sig i förhållande till ljuskällan.

Att en hastighet kunde vara konstant för alla situationer var svårt att acceptera för forskarna, men det stämde väl överens med Michelsons och Morleys experiment.

Den speciella relativitetsteorin kallas för speciell eftersom den endast tar upp händelser i likformig rätlinjig rörelse. I den kan vi läsa att ljusets hastighet i vacuum är konstant och betecknas c. Denna, den fysikaliskt högsta uppnåbara hastighet, har genom noggranna experiment uppmätts till 299 792 km/s. Einsteins teori kom att ge upphov till många underliga företeelser inom fysiken, så som tidsdilatation och längdkontraktion. Alla fenomen kommer att beskrivas mer ingående senare i arbetet. En annan del av den speciella relativitetsteorin säger att rummet inte har tre dimensioner, utan fyra! Varje föremål har också en egentid som går långsammare ju större hastighet det har. Det är detta fenomen som kallas tidsdilatation. Om ett föremål skulle färdas med ljusets hastighet skulle dess egentid stå still. Detta är dock omöjligt eftersom dess massa då skulle bli oändligt stor, vilket är annan del av teorin. Ett föremål som accelereras blir också kortare i rörelseriktningen, en företeelse som kallas längdkontraktion.

6.3 Tidsdilatation

Efter att man har accepterat och insett att ljusets hastighet är konstant kan man ställa sig följande fråga: Hur kan två olika observatörer, som rör sig i förhållande till varandra, uppmäta samma hastighet på ljuset från en och samma ljuskälla? Den enda rimliga, och korrekta, slutsatsen är att tiden måste gå olika fort. Detta fenomen kallas tidsdilatation. Den ena observatören kommer att uppleva att den andres klocka går för sakta, och vice versa.

För att förklara detta följer här ett klassiskt exempel: Låt säga att en lampa och en spegel placeras i ett rymdskepp. Som synes på bilden nedan kallar vi ljuskällan för L, spegeln för S, avståndet mellan dem d och iakttagaren för A. En ljusblixt sänds ut från L och träffar så småningom S. Iakttagaren A anser att ljuset färdas sträckan d innan det träffar spegeln. A kan därför använda anordningen med lampan och spegeln som klocka och d/c = t0 (enligt t = s/v) som tidsenhet.

Nu tänker vi oss i stället att rymdskeppet rör sig relativt jorden och iakttagare B. Denne anser att ljusblixten har förflyttat sig en diagonal sträcka, som är längre än d, när det träffar spegeln. Detta eftersom rymdskeppet i sig har förflyttats sträckan vt i sidled, där t är den tid som observatörens upplever. Denna sträcka som B anser att ljuset har förflyttats blir ct meter lång.

Om vi kallar A:s egentid, dvs. den tid som A upplever, för t0 och B:s egentid för t, får vi ut att sträckan d är ct0 meter lång och med hjälp av Pytagoras sats kan vi ställa upp följande samband:

Med hjälp av Pytagoras sats kan följande samand ställas upp.
Vi visste att d = ct0 och ersätter därför d med ct0.
Parenteserna tas bort i båda leden.
Subtraktion av båda leden med v2t2.
Division av båda leden med c2.
t2 bryts ut i det vänstra ledet.
Division av båda leden med 1-v2/c2.
Kvadratroten ur båda leden.
Slutgiltig förenkling.
Detta är Einsteins formel för tidsdilatation.

Om man betraktar formeln i det ovanstående uppställda sambandet, ser man snart att nämnaren går mot 0 för höga hastigheter och mot 1 för låga. Detta gör att fenomenet med tidsdilatation endast ger sig till känna vid hastigheter som närmar sig ljusets. Ett välkänt exempel är den s.k. tvillingparadoxen. Låt säga att en tvilling, A, direkt efter födseln placeras i en rymdraket och lever där hela sitt 90-åriga liv. Raketen får direkt upp hastigheten 11 km/s. 90 år för A i raketen skulle då vara 2 838 240 000 sekunder (skottår ej inräknade). Men för B på jorden skulle de 90 åren vara:

När A kommer tillbaka till jorden efter 90 år anser han själv att han är 90 år, medan B anser att han är 90 år plus 2 sekunder. Som synes av detta räkneexempel blir det inte tal om några stora tidsskillnader trots att vi upplever 11 km/s (jordens flykthastighet, den hastighet som en raket måste uppnå för att kunna lämna jordens gravitationsfält) som en väldigt hög hastighet. Om raketen under de 90 åren i stället skulle färdas med en hastighet av 100 000 km/s, dvs. c/3, så skulle skillnaden i tvillingexemplet bli hela 5,5 år! Detta exempel kräver, precis som det förra med ljusblixten i raketen, att vi hela tiden fokuserar oss på raketens rörelse relativt jorden. I själva verket roterar jorden både kring sin egen axel och runt solen samtidigt som hela vår galax, Vintergatan, också roterar dels runt sin egen axel dels förflyttas i takt med universums utvidgning. Detta medför enormt komplicerade beräkningar om man vill räkna på raketens och jordens rörelse relativt universums.

Att försöka bevisa existensen av tidsdilatation på teoretisk väg kan tyckas omöjligt, men det finns faktiskt händelser endast kan förklaras av just tidsdilatation. Ett exempel på en sådan händelse är att jorden konstant träffas av små partiklar som ursprungligen kommer från solen. När dessa kommer in i atmosfären kolliderar de med luftens molekyler och det bildas myoner, som till stor del liknar elektroner. På jorden har myoner en halveringstid på 2,0 s. Då de bildas på 6 km höjd över jorden och har en hastighet på ca 0,995c borde det, enligt den klassiska fysiken, ta 20 s för dem att nå jordytan.

Detta är 10 gånger längre tid än vad de egentligen lever. Men i själva verket når många av dem jordytan. Anledningen till detta är att de har så hög hastighet, 99,5 % av ljushastigheten. Därför måste vi räkna med relativistiska formler. Observatörerna på jorden har tiden t och myonernas egentid är t0. Detta ger:

Detta visar att då den tid som observatörerna på jorden upplever som 20 s, upplevs av myonerna endast som 2,0 s. Myonernas egentid går alltså 10 gånger långsammare än observatörernas. Halveringstiden på 2,0 s är alltid partikelns egentid. När den uppmättes skedde det på jorden då myonerna och observatörerna hade samma egentid eftersom de var i vila i förhållande till varandra. Men nu färdas myonerna med en otroligt hög hastighet medan observatörerna på jorden fortfarande är i vila i vårt referenssystem, så därför går myonernas egentid långsammare än observatörernas. En myons halveringstid är alltså under alla förhållanden 2,0 s sett till dess egentid. Låt säga att myonerna skulle kunna öka sin hastighet till 99,9 % av ljushastigheten. De skulle då, enligt en observatör på jorden, leva i hela 44,7 s. En ökning till 0,9999c ger en livslängd på hela 141 s, så tidsskillnaderna blir väldigt stora desto närmare ljushastigheten man kommer.

6.4 Dopplereffekt

Säg att vi har två observatörer, A och B, och att B rör sig bort från A med konstant hastighet. A, som befinner sig i vila, skickar ut ljussignaler mot B med ett visst mellanrum. När B mottar signalerna kommer denne att uppmäta ett annat tidsintervall mellan dem än vad A gjorde. Den skillnad som uppstår kan inte beräknas med formeln för tidsdilatation eftersom avståndet mellan observatörerna ändras under händelseförloppets gång och därmed ändras också ljusets gångtid mellan dem. Att ljusets gångtid förändras gör att de båda observatörerna inte kommer att få samma resultat vid mätning av ljusets frekvens och våglängd. Detta fenomen kallas dopplereffekt. I stället för ljus kan man naturligtvis också tänka sig radio- eller TV-signaler.

Låt säga att A och B befinner sig på jorden vid tidpunkten t = 0. Vi låter B avlägsna sig från A med en konstant hastighet, v. Vid tidpunkten T0 skickar A åter iväg en signal mot B som mottar denna vid tidpunkten t enligt A:s klocka och vid T enligt B:s klocka. Direkt vid mottagandet skickar B tillbaka en ljussignal mot A som når denne vid tiden T1 enligt A:s klocka.

Förhållandet mellan T1 och T bör logiskt sett vara det samma som mellan T och T0. Efter som händelsen är symmetrisk för de båda observatörerna bör förhållandet mellan de båda tidsmellanrummen vara direkt proportionell med proportionalitetskonstanten k.

Avståndet mellan A och B vid en viss tidpunkt t är alltid vt. Den tid det tar för ljuset att färdas den sträckan är alltså vt / c.

Nu när vi har löst ut k kan vi sätta in resultatet i T = kT0.

Detta är den relativistiska formeln för dopplereffekt. Denna metod för att härleda den kallas k-metoden och är speciell eftersom den inte använder någon annan relativistisk formel utan endast hänvisar till det faktum att ljusets hastighet är konstant.

Naturligtvis kan man också härleda formeln för dopplereffekt med hjälp av formeln för tidsdilatation. Detta är enklare men inte lika fascinerande.

Som synes blir det samma värde på k som om man använder k-metoden.

Det är fenomenet med att ljusets frekvens ändras som kallas dopplereffekt. En följd av detta är att en observatör som rör sig bort från en ljuskälla eller som tittar på en ljuskälla som rör sig bort från honom, kommer att uppleva ljuskällans ljus som en aning rödare än vad det egentligen är. Fenomenet kallas rödförskjutning och beror på att observatören tycker att ljuset har en lite mindre frekvens, och därmed lite större våglängd (enligt c = f ), än vad en observatör som befinner sig i vila i förhållande till ljuskällan hade tyckt. Det omvända, dvs. att observatören rör sig mot ljuskällan eller att ljuskällan rör sig mot observatören, gör att hastigheten får ett negativt värde.

Observatören tycker nu att ljuset har en större frekvens och mindre våglängd än vad en observatör i vila i förhållande till ljuskällan hade tyckt. Ljuset upplevs nu en aning blåare och företeelsen kallas därför blåförskjutning.

Att kunna beräkna dessa skillnader i tid, frekvens och våglängd är mycket viktiga i vardagen när vi t.ex. skickar signaler till satelliter som rör sig i förhållande till sändaren. Ett annat exempel är de förändringar i våglängd som uppstår när radarsignaler reflekteras mot rörliga föremål. Dessa kan lätt beräknas med formeln för dopplereffekten. Omvänt kan förändringarna mätas och på så sätt kan hastigheten för det föremål som de reflekterades mot beräknas.

6.5 Addition av hastigheter

I Newtons klassiska fysik är addition av hastigheter inget krångligt. Adderad man hastigheterna v1 och v2 fås helt enkelt vtot = v1 + v2. Om man till exempel åker i en bil med hastigheten 25 m/s och skjuter en gevärskula i rörelseriktningen som relativt geväret får en hastighet på 300 m/s, så blir kulans hastighet relativt marken helt enkelt 25 + 300 = 325 m/s. Detta är mycket logiskt, enkelt att förstå och fungerar ypperligt i vårt vardagliga liv med dess låga hastigheter. Men när hastigheterna börjar bli så höga som några procent av ljushastigheten går det inte längre att räkna med den klassiska fysiken. Här tar Einsteins relativistiska över. De första iakttagelserna som tydde på att Newtons lagar inte alltid gällde, skedde just inom astronomin. I universum finns det så kallade dubbelstjärnor, två stjärnor som kretsar kring en gemensam punkt. I det läge då stjärnorna har exakt samma avstånd till jorden rör sig den ena mot jorden med hastigheten v och den andre från jorden med samma hastighet. Det ljus som stjärnorna sänder ut i riktning mot jorden borde då få olika hastigheter, c+v resp. c-v, och därmed nå jorden vid olika tidpunkter. Men ljusstrålarna nådde jorden exakt samtidigt vilket visade att man inte addera hastigheter hur som helst och att ljusets hastighet är konstant och oberoende av ljuskällans hastighet.

Att ljuset verkligen hade en hastighet var dock ingen nyhet i forskarvärlden. Redan 1676 hade när den danska forskaren Ole Römer studerade förmörkelserna av Jupiters månar, upptäckte han att ljuset hade en hastighet på ca 300 000 km/s. Detta skedde ungefär samtidigt som Newton arbetade på sin bok om mekaniken, men Newton insåg aldrig att denna upptäckt faktiskt raserade hans tankar på ett absolut rum och en absolut tid.

Einstein kom fram till en korrekt formel genom följande tankeexperiment: Låt säga att vi har tre observatörer, A, B och C. A är i vila och B rör sig bort från A med en konstant hastighet, u, relativt A. A skickar nu ut ljussignaler med tidsintervallet T0.

Ljusblixtarna fortsätter nu förbi B och når C som också rör sig bort från A med den konstanta hastigheten v relativt B och med farten w relativt A. När C mäter tidsintervallet får han värdet . Detta värde, , kan beräknas p två olika sätt beroende på om man utgår från A:s eller B:s värde.

Granskar man formeln ser man att nämnaren går mot 1 vid låga hastigheter och att den går mot 2 när de båda hastigheterna närmar sig ljusets. Vi ser att det för låga hastigheter går alldeles utmärkt att räkna med Newtons enkla additionsprincip och att ljusets hastighet i vacuum, c, utgör en övre gräns för vilken hastighet två adderade hastigheter som mest kan resultera i. Om v1 = c och v2 = c blir den resulterande hastigheten ändå c.

6.6 Längdkontraktion

När nu vet att tiden inte är absolut börjar vi återigen att fundera över den klassiska formeln
s = vt. Eftersom en hastighet aldrig varierar ser man snart att även sträckan, s, måste kunna variera. Att tidsdilatation är nära bunden till längdkontraktion beskrivs i kommande exempel:

Låt säga att en iakttagare står på jorden och tittar ut mot rymden. En raket ska där färdas en sträcka, L0, mot en avlägsen stjärna. Raketen har naturligtvis en mycket hög fart. Något som också är viktigt att poängtera är att raketen färdas exakt i en tänkt linje från iakttagaren till stjärnan. Varför detta är viktigt återkommer vi till senare. Enligt iakttagaren på jorden, som befinner sig i vila, har raketen färdats sträcken L0 på tiden t sekunder när den når stjärnan. Personen i raketen tycker att han har färdats sträckan L på tiden t0 sekunder.

Enligt den klassiska fysikens lagar skulle dessa två vara lika med varandra. Men så är inte fallet, speciellt inte när hastigheten börjar närma sig ljusets.

Eftersom alltid är mindre än ett så kommer också L0 alltid att vara mindre än L. Följaktligen tycker personen i raketen att sträckan är kortare än var iakttagaren på jorden tycker. Detta fenomen kallas längdkontraktion och kommer av det latinska contrahere som betyder sammandra.

Längdkontraktionen gäller dock endast för sträckor som är parallella med rörelseriktningen. Om den skulle ha gällt för alla sträckor hade det fått väldigt underliga följder. Ett tåg som är 3,0 m högt och har en hastighet på, låt säga, 0,70c skulle då, enligt en observatör på tåget, inte kunna köra in i en 10 m hög tunnel.

6.7 Samtidighet

Tidsdilatation och längdkontraktion är två fenomen som vi knappast märker av i vår vardag, då det handlar om väldigt låga hastigheter. Ett passagerarflygplan har en maximal hastighet på ca 1300 km/h vilket är mycket jämfört med en bil, men bara 0,00012 % av ljusets hastighet. Endast med ytterst förfinade experiment kan man lyckas påvisa tidsdilatation på jorden. Man har t ex låtit en av två synkroniserade atomur följa med ett reguljärflyg runt jorden för en tid och sedan jämfört denna med den som varit kvar på jorden. Skillnader, om än mycket små, har då uppmätts. Men för längdkontraktion är det i princip omöjligt, eftersom instrumenten som skall användas för mätning också blir kortare i färdriktningen.

Det är endast i universum och inom astronomin som effekterna av tidsdilatation och längdkontraktion blir mer eller mindre märkbara. Detta gör man kan börja ifrågasätta begreppet samtidighet. Vad är det egentligen och hur ska man definiera det? Ett faktum som är relativt enkelt att förstå är att ljuset förmedlar våra synintryck och eftersom ljusets hastighet inte är oändligt stor kommer vi att kunna uppfatta två händelser olika beroende på skillnaden i sträcka mellan dem. Än en gång ska det påpekas att detta inte ger sig till känna i vår vardag, eftersom det handlar om så korta avstånd, men i universum blir konsekvenserna annorlunda. Låt säga två blixtnedslag träffar en väg på platserna A och B. Frågan vi nu ställer oss är om de inträffade samtidigt. Bilden på nästa sida belyser problemet.

Om vi antar att Z har exakt lika långt till A och B så kommer han att uppleva de två blixtnedslagen som samtidiga, eftersom det tar lika lång tid för ljuset att färdas sträckan AZ som BZ. X och Y har däremot olika lång sträcka till A och B och kommer därför att uppleva dem som icke samtidigt. X uppfattar det som om nedslaget i A kom först och Y uppfattar det precis tvärt emot, dvs. att det i B var först. Naturligtvis är detta bara ett s.k. tankeexperiment eftersom den mänskliga hjärnan inte kan uppfatta dessa ytterst små skillnader. Men om det i stället hade varit några hundratusen mil mellan nedslagsplatserna hade tydligt skillnader kunnat observeras med blotta ögat. Eftersom vi tidigare kommit fram till att det inte finns något absolut rum eller någon absolut tid tappar vi alla våra vardagliga referenser. Vi kan hädanefter bara mäta vårt läge i ett koordinatsystem, vår hastighet eller tiden i förhållande till något annat föremål eller till någon annan händelse.

Begreppet samtidighet kan också påverkas av andra faktorer än bara avståndet mellan händelserna och observatörerna. Om en av observatörerna rör sig i förhållande till den andre uppstår också olika uppfattningar om vad som kan räknas som samtidigt. Ett klassiskt exempel som Einstein själv har formulerat lyder: Antag att en observatör befinner sig i en järnvägsvagn som rör sig längst ett spår med hastigheten v. En lampa placeras exakt mitt i vagnen och en kort ljusblixt avges. Ljuset, med hastigheten c, rör sig med denna hastighet mot vagnens båda kortsidor och träffar, enligt observatör A, dessa samtidigt. Men hur ter sig detta för observatör B som står vid banvallen? Nu får vagnens hastighet, v, plötsligt en betydelse.

Låt säga vagnen är 2x m lång och rör sig med hastigheten v m/s. Avståndet från ljuskällan till vardera kortsidan blir då x m. Eftersom den bakre sidan rör sig mot ljuskällan och den främre från den, anser B att ljuset måste färdas x – vt meter för att nå den bakre kortsidan medan det måste färdas x + vt meter för att nå den främre. Observatör B anser därför att ljusblixten kommer att träffa den bakre kortsidan först, eftersom sträckan dit är kortast. Det som uppfattas som samtidigt av den ene observatören uppfattas alltså inte på samma sätt av den andre. Detta visar på samtidighetens relativitet, att varje tid relaterar till en speciell referenskropp.

6.8 Massans beroende av hastigheten

Ännu en grundpelare inom den klassiska fysiken är att rörelsemängden alltid bevaras i alla situationer. Vi ska nu undersöka detta faktum vid höga hastigheter och relativistiskt räknande.

Om vi tänker oss två öppna vagnar som rullar på varsin räls med en relativistisk hastighet. De två rör sig exakt parallellt med och alldeles intill varandra. På varje vagn finns det en anordning som kan skjuta iväg en kula vinkelrätt mot rörelseriktningen mot den andra rälsen och vagnen. När kulan skjuts iväg får den en väldigt låg hastighet, u0, relativt det egna vagnsgolvet. Båda vagnarna, dess kulor och anordningar är exakt identiska med varandra och följaktligen får de båda kulorna samma hastighet, u0, relativt det vagnsgolv de rullar på. De båda vagnarnas golv är helt plana och vagnarna saknar väggar så att en kula kan rulla över till den andra vagnen om de står intill varandra. Kulorna är helt oelastiska och om de skulle stöta ihop skulle de fastna i varandra.

Nu låter vi de båda vagnarna starta från varsitt håll, accelerera upp i en mycket hög hastighet, v, relativt varandra och sedan mötas på mitten. Strax innan de möts gör anordningarna så att de båda kulorna kommer i rullning och när vagnarna är precis bredvid varandra stöter kulorna samman på gränslinjen mellan vagnarna. Kulorna fastnar då i varandra och eftersom händelsen är symetrisk kommer de efter stöten att befinna sig i vila relativt rälserna. Nu tänker vi oss att en observatör, A, står på den ena vagnen och skall mäta kulornas rörelsemängd. Han kommer mycket riktigt fram till att rörelsemängden för den kula som rullade på den vagn som han själv står på, omedelbart före stöten var m0u0. De båda kulorna, som nu ses som en enda kropp, har direkt efter stöten rörelsemängden noll. Kulan på den andra vagnen måste alltså ha haft en exakt lika stor rörelsemängd men med motsatt tecken. A tycker dock att den andra kulan har en lägre hastighet än den egna kulan. Låt säga att det står en annan observatör, B, på den andra vagnen. B anser att kulan har tillryggalagt sträckan s på tiden s/u. Detta är alltså B:s egentid. A upplever sträckan, s, på samma sätt som den andre observatören eftersom den är vinkelrät mot rörelseriktningen och därmed inte påverkas av längdkontraktionen. A upplever dock en annan tid, pga. tidsdilatationen, och uppmäter tiden det tar för kulan att färdas sträckan s till och därmed hastigheten på den andra kulan som .

Om den vi betecknar massan på A:s kula med m0 och massan på B:s kula med m, kan vi ställa upp följande samband med tanke på att rörelsemängden bevaras:

Man ser redan nu att m  m0. Division med ger formeln för relativistisk massa:

Eftersom alltid blir mindre än ett så blir alltså m alltid större än m0 om kroppen har en hastighet. En kropps massa ökar alltså desto högre hastighet den har. Detta är dock enligt en utomstående observatör.

För att åskådliggöra detta har jag gjort en graf som visar massans beroende av hastigheten. Den kan ses på nästa sida.

6.9 Rörelsemängd och rörelseenergi

I den klassiska fysiken lyder definitionen för rörelsemängd p = mv. Men numer vet vi att massan ökar då hastigheten ökar. Alltså måste vi arbeta fram en ny formel för rörelsemängd. Formeln för tidsdilatation och formeln v = s / t ger oss:

Som synes skiljer den sig från den klassiska med faktorn och skillnaderna blir därför endast märkbara vid relativistiska hastigheter. Den enda skillnaden i denna formel mot för den klassiska är att i den relativistiska fokuserar man sig på partikelns egentid i stället för en vilanda observatörs egentid. I den newtonska fysiken räknade man med att tiden gick lika snabbt i alla systen oavsett hastighet, men i den relativistiska måste man ta hänsyn till tidens varians och därav skillnaden i formeln.

Den mest kända av Einsteins alla formler är utan tvekan E = mc2, att en partikels totala energi är lika med dess massa multiplicerat med ljushastigheten i vacuum i kvadrat. Men massan ökar med hastigheten. Formeln för en partikels viloenergi blir E = m0c2, där m0 är partikelns vilomassa. Bara utifrån denna korta text kan vi nu formulera ett uttryck för relativ rörelseenergi. Den bör rimligtvis vara differensen mellan den totala energin och viloenergin, vilket ger:
Men sedan tidigare hade vi en formel för den relativistiska massan, m. Ersätter vi m med denna får vi det slutgiltiga uttrycket för relativ rörelseenergi:

6.10 Den fjärde dimensionen

Följande kapitel kommer att avsluta den speciella relativitetsteorin och det är då svårt att inte komma in på den allmänna. Att beskriva följder av den allmänna relativitetsteorin på ett klart och strukturerat sätt, utan några som helst matematiska beräkningar, är nästan omöjligt. Därför kan vissa delar i detta kapitel kännas abstrakta och oklara. Min förhoppning är ändå att de skall locka till vidare studier av Einsteins teorier och dess fascinerande konsekvenser.

Att tiden har en så stor betydelse i Einsteins teorier gjorde att han utökade vår tredimensionella värld genom att tillföra tiden som en fjärde dimension. Han kallade denna för rumtiden. Vi människor har väldigt svårt att föreställa oss detta eftersom vi grundar våra intryck på de tre dimensionerna höjd, bredd och djup. Men inom matematiken går det bra att räkna med fler dimensioner än tre. Den matematiker som var först med att beskriva denna fyrdimensionella värld var tysken Herman Minkowski. Han visade att de tre koordinater var beroende av den fjärde, tiden.
För att man lättare ska kunna förstå detta kan ett mycket förenklat rum-tid-diagram göras med endast två koordinataxlar. Det som ses här under beskriver hur en bil färdas i rumtiden. Låt säga att den åker på en väg med en konstant hastighet. Plötsligt blir den tvungen att stanna och bromsar då ner farten (1). När den sedan står stilla förflyttar den sig inte i rummet (x-axeln), men dock i tiden (t-axeln). Därefter accelererar den upp igen (3) för att återfå en konstant hastighet (4).

Om vi skulle rita upp den egentliga, fyrdimensionella färdlinjen, vilket naturligtvis är omöjligt i vår tredimensionella värld, skulle det vara krökt i alla dimensioner eftersom bilen accelererar och retarderar, åker upp och ner för kullar och svänger både till vänster och höger. Om man drar en linje från resans startpunkt till resans slutpunkt får man rumtidsintervallet. Det är denna sträcka som används när avstånd i rumtiden mäts.

Newton menade med sin fysik att ett föremål alltid har samma form, oavsett dess hastighet. Einstein däremot menade i sin speciella relativitetsteori att formen i allra högsta grad är beroende av hastigheten, men senare i den allmänna relativitetsteorin knyter han samman de båda synsätten på ett enastående sätt. Till att börja med måste man se på alla kroppar som om de vore fyrdimensionella, vilket är en mycket abstrakt tanke för de flesta. Alla observatörer är därför, oavsett hastighet, ense om ett föremåls fyrdimensionella struktur.

Varför det uppkommer synliga fenomen i den tredimensionella världen som skiljer sig så markant från den verkliga fyrdimensionella kan mycket förenklat förklaras på följande sätt: Anta att man håller ett icke sfäriskt föremål framför en lampa. Ljuset gör då att det bildas en tvådimensionell skuggbild av det tredimensionella föremålet på väggen. Beroende på hur man vrider föremålet förändras skuggbildens form, trots att det endast är föremålets läge som förändras och inte dess form. På ungefär samma sätt förändras vår tredimensionella värld beroende på vårt läge i rumtiden.

Den speciella relativitetsteorins fenomen med längdkontraktion uppkommer till exempel endast i den tredimensionella världen, inte i den fyrdimensionella. Detta eftersom rumtiden alltid är den samma för alla observatörer till skillnad från det tredimensionella rummet eller den endimensionella tiden. Att inga skillnader uppträder i rumtiden och att denna är absolut kallas rumtidens invarians. Detta, ett av relativitetsteorins viktigaste budskap, kan tyckas motsägelsefullt, men då ska man komma ihåg att alla relativa effekter som den beskriver gäller i vår tredimensionella värld eller för den endimensionella tiden. Einstein lär själv ha sagt att “en sann uppfattning om materien finns inte”. Det stämmer till punkt och pricka om man syftar på materian i vår tredimensionella värld, men efter att senare ha kommit fram till ovanstående faktum om rumtidens invarians tvingades han ta tillbaka uttalandet.

I den allmänna relativitetsteorin förklarar Einstein hur stora massor kröker rumtiden vilket gör att den kortaste sträckan från en punkt till en annan i rummet så gott som aldrig är helt rak. Einstein ser inte heller gravitationen som en kraft. Att planeter roterar runt en stjärna beror på att stjärnan, med sin enorma massa, kröker rummet och gör att planetens raka bana genom rumtiden blir cirkulär eller elliptisk i vår tredimensionella värld. Förenklat kan man jämföra det med att en kula läggs på en elastisk gummiduk som är plant utspänd. Kulan sjunker då ner och bilder en mjuk fördjupning i duken. En till en början rak linje på gummiduken blir nu mer och mer krökt desto närmare kulan den ligger. Det kortaste avståndet från en punkt till en annan på duken är nu inte rak. Eftersom rumtiden är krökt nära stora kroppar är den inte euklidisk där utan gaussisk, dvs. den har inte raka koordinataxlar utan böjda. Detta kan jämföras med att rita en triangel på en jordglob. Starta vid nordpolen och dra två raka linjer mot ekvatorn med rät vinkel mellan dem. När de båda linjerna möter ekvatorn är vinkeln mellan varje linje och ekvatorn rät. Alltså har triangeln en vinkelsumma på 270 grader och inte 180 som normalt. På nästan samma sätt sätts vår vardagliga trigonometri ur spel i den krökta rumtiden.

Planeten, och alla andra kroppar som inte påverkas av någon yttre kraft, rör sig längs en rät linje i rumtiden. Men eftersom rumtiden är krökt verkar det som är rätlinjigt i rumtiden krökt i vår tredimensionella värld. Om man skulle räkna om planetens, tredimensionellt sett, elliptiska rörelse i det fyrdimensionella rummet skulle den bli helt rät! På samma sätt är det med ljuset. Det tar alltid den kortaste vägen efter en rät linje genom rumtiden, men det kan vara en krökt bana i den tredimensionella världen. Det är hemskt svårt att föreställa sig detta som en tredimensionell bild men att göra matematiska beräkningar med fyra dimensioner (koordinataxlar) går desto bättre.

Mer ingående och detaljerat om detta kan läsas i den allmänna relativitetsteorin.

7. Sammanfattning

• Ljuset behöver inget medium för att kunna färdas.

• Fysikens lagar gäller på samma sätt för alla objekt som är i vila relativt ett specifikt koordinatsystem.

• Det är för en observatör principiellt omöjligt att genom några som helst fysikaliska experiment avgöra om han befinner sig i vila eller i ett tillstånd av likformig rätlinjig, dvs.
oaccelererad, rörelse.

• Ljusets hastighet är en universell konstant, densamma för alla observatörer vare sig de finner sig i vila eller rör sig i förhållande till ljuskällan.

• Ljusets hastighet i vacuum är konstant, betecknas c och har uppmätts till 299 792 km/s. Inget kan överskriva denna hastighet.

• Den relativistiska formeln för addition av hastigheter lyder:

• Desto högre hastighet att föremål har, desto långsammare går dess egentid. Fenomenet kallas tidsdilatation och beräknas med formeln:

• Längdkontraktion innebär att on observatör i rörelse uppmäter sträckor parallella med rörelseriktningen som kortare än vad en observatör i vila relativt sträckan gör. Detta beräknas med formeln:

• Information kan inte förflytta sig med en oändlig hastighet vilket gör att två händelser som uppfattas som samtidiga av en observatör inte behöver uppfattas så av en annan. Ännu en koordinataxel, tiden, måste införas för att ett korrekt förhållande mellan tidpunkt och plats skall kunna beskrivas.

• Samtidighet är ett relativt begrepp. Om en händelse ska kunna beskrivas utan att tiden blandas in, måste varje observatör definiera sitt eget koordinatsystem som är i vila relativt observatören

• Dopplereffekt uppkommer då sträckan mellan två observatörer ändrar under händelsens gång. Detta gör att ljusets gångtid mellan dem förkortas eller förlängs beroende på om de närmar sig eller avlägsnar sig från varandra. Tidsskillnaderna vid dopplereffekt beräknas med formeln:

• Dopplereffekt leder också till frekvensändringar. Skillnaden i frekvens beror på huruvida observatören rör sig mot strålningskällan eller från den. Rör han sig från källan används formeln: Rör sig observatören mot källan används:

• En partikels massa är beroende av dess hastighet. Massan ökar om hastigheten ökar. Den relativistiska massan beräknas med följande formel:

• Rörelsemängd för ett föremål ändras beroende på dess hastighet eftersom massan ökar med hastigheten. Den relativistiska formeln för rörelsemängd lyder:

• Ett föremåls rörelseenergi är differensen mellan dess totala energi och dess viloenergi. Formeln för relativistisk rörelseenergi ser ut så här:

8. Slutord

Syftet med detta arbete var att på ett enkelt men ändå vetenskapligt sätt beskriva Albert Einsteins speciella relativitetsteori. Alla formler härleds noggrant och det görs i så pass många steg att inget högre matematiskt kunnande krävs för att följa dem. De enda formler som läsaren förutsätts kunna sedan tidigare är s = vt och Pytagoras sats.

Det har varit mycket intressant och spännande att göra arbetet. Man häpnar över alla de relativistiska konsekvenserna och att förundras över hur Einstein, som den unge fysiker han ändå var, lyckades komma fram till sina teorier. I bland kan dock ens egna tankar bli lite väl abstrakta. De första funderingar som uppkom var av typen: “Om jag åker med ljusets hastighet och tittar bakåt, hinner då ljuset inte upp mig eftersom jag själv färdas med ljusets hastighet och följden bli att det blir alldeles svart?” Efter en stunds funderande slutar man snabbt att göra sådana tankeexperiment…

Specialarbete: Den speciella relativitetsteorin, 2.7 out of 5 based on 65 ratings
| Mer
Betygsätt Specialarbete: Den speciella relativitetsteorin


Relaterade skolarbeten
Nedanstående är skolarbeten som handlar om Specialarbete: Den speciella relativitetsteorin eller som på något sätt är relaterade med Specialarbete: Den speciella relativitetsteorin.

2 Responses to “Specialarbete: Den speciella relativitetsteorin”

  1. Anki on 12 Apr 2008 at 9:48 e m #

    Mycket bra! dock ett problem: alla formler syns ju inte… jag behöver rörelseenergins formel. Har nämligen en fråga som lyder så här: En elektron accelereras av spänningen 1,2 MV. Beräkna
    a. elektronens rörelseenergi
    b. elektronens totala energi
    c. elektronens gammafaktor
    d. elektronens hastighet

    hur ska jag kunna ta ut detta utan att jag har gammafaktorn…behöver hjälp…

    tack – med vänlig hälsn. Anki

  2. plinge on 14 Okt 2009 at 5:59 e m #

    Mycket bra arbete, intressant tankebana i slutorden.

Kommentera Specialarbete: Den speciella relativitetsteorin

« | »

'